Упр.217 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$MKE$$ $$MK=ME$$. На стороне $$KE$$ отмечены точки $$F$$ и $$N$$ так, что точка $$N$$ лежит между точками $$F$$ и $$E$$, причём $$\angle KMF=\angle EMN$$. Докажите, что $$\angle MFN=\angle MNF$$.

1) Так как $$MK=ME,$$ то треугольник $$KME$$ равнобедренный. Следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle MKE=\angle MEK.$$

2) Рассмотрим треугольники $$MKF$$ и $$MEN.$$

Так как точки $$F$$ и $$N$$ лежат на прямой $$KE,$$ то лучи $$KF$$ и $$KE$$ совпадают, а лучи $$EN$$ и $$EK$$ совпадают. Поэтому

$$\angle MKF=\angle MKE,\qquad \angle MEN=\angle MEK.$$

Из равенства углов $$\angle MKE=\angle MEK$$ получаем

$$\angle MKF=\angle MEN.$$

Кроме того, по условию

$$\angle KMF=\angle EMN,$$

и $$MK=ME.$$

Значит, треугольники $$MKF$$ и $$MEN$$ равны по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что

$$MF=MN.$$

3) Рассмотрим треугольник $$FMN.$$ В нём две стороны равны:

$$MF=MN.$$

Следовательно, треугольник $$FMN$$ равнобедренный, а его углы при основании равны:

$$\angle MFN=\angle MNF.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle MFN=\angle MNF.$$