Упр.211 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
- На рисунке 163 $$AO=CO$$, $$\angle AOB=\angle COB$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COB$$. У них:
$$AO=CO$$ — по условию,
$$BO$$ — общая сторона,
$$\angle AOB=\angle COB$$ — по условию.
Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COB$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие углы равны:
$$\angle OAB=\angle OCB.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$AO=CO$$, то он равнобедренный, значит, его углы при основании равны:
$$\angle OAC=\angle OCA.$$
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Его угол при вершине $$A$$ можно представить как сумму:
$$\angle A=\angle OAB+\angle OAC,$$
а угол при вершине $$B$$ — как сумму:
$$\angle B=\angle OBC+\angle OCB.$$
Из равенства треугольников $$AOB$$ и $$COB$$ получаем также $$\angle OAB=\angle OCB$$, а из равнобедренности треугольника $$AOC$$ имеем $$\angle OAC=\angle OCA$$. Поэтому
$$\angle A=\angle B.$$
Значит, в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, следовательно, он равнобедренный.
Ответ: $$\triangle ABC$$ равнобедренный.
