Упр.211 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 211. На рисунке 163 АО = СО, угол AOB = углу СОВ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COB$$. У них:

$$AO=CO$$ — по условию,

$$BO$$ — общая сторона,

$$\angle AOB=\angle COB$$ — по условию.

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COB$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle OAB=\angle OCB.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$AO=CO$$, то он равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle OAC=\angle OCA.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Его угол при вершине $$A$$ можно представить как сумму:

$$\angle A=\angle OAB+\angle OAC,$$

а угол при вершине $$B$$ — как сумму:

$$\angle B=\angle OBC+\angle OCB.$$

Из равенства треугольников $$AOB$$ и $$COB$$ получаем также $$\angle OAB=\angle OCB$$, а из равнобедренности треугольника $$AOC$$ имеем $$\angle OAC=\angle OCA$$. Поэтому

$$\angle A=\angle B.$$

Значит, в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, следовательно, он равнобедренный.

Ответ: $$\triangle ABC$$ равнобедренный.