Упр.192 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. На одной стороне угла с вершиной в точке $$О$$ (рис. 152) отмечены точки $$А$$ и $$В$$, а на другой — точки $$С$$ и $$D$$ так, что $$ОА = ОС$$, $$АВ = CD$$. Докажите, что луч $$ОМ$$ является биссектрисой угла $$BOD$$, где $$М$$ — точка пересечения отрезков $$AD$$ и $$ВС$$.

Рассмотрим треугольники $$OCB$$ и $$OAD$$. Так как $$OA=OC$$, $$AB=CD$$, то

$$OB=OA+AB=OC+CD=OD.$$

Кроме того, $$\angle BOC=\angle DOA$$ как углы между одними и теми же лучами $$OB$$ и $$OD$$ с лучами $$OC$$ и $$OA$$ соответственно.

Следовательно, $$\triangle OCB \cong \triangle OAD$$ по первому признаку равенства треугольников, откуда

$$\angle OBC=\angle ODA,\qquad \angle OCB=\angle OAD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$CMD$$. Из равенства углов получаем

$$\angle ABM=\angle CDM,$$

так как $$BM$$ и $$DM$$ лежат на одной прямой с отрезками $$BC$$ и $$AD$$ соответственно.

Также

$$\angle BAM=180^\circ-\angle OAM,$$

$$\angle DCM=180^\circ-\angle OCM.$$

Поскольку $$\angle OAM=\angle OCM$$, то $$\angle BAM=\angle DCM$$. Значит,

$$\triangle AMB \cong \triangle CMD$$ по второму признаку равенства треугольников, поэтому

$$MB=MD.$$

Рассмотрим треугольники $$OMB$$ и $$OMD$$. Имеем

$$OB=OD,$$

$$MB=MD,$$

$$OM$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle OMB \cong \triangle OMD$$ по трём сторонам, откуда

$$\angle BOM=\angle MOD.$$

Значит, луч $$OM$$ является биссектрисой угла $$BOD$$.

Ответ

Луч $$OM$$ — биссектриса угла $$BOD$$.