Упр.191 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся этой точкой пополам. На отрезке $$AC$$ отмечена точка $$M$$, а на отрезке $$BD$$ — точка $$K$$ так, что $$AM=BK$$. Докажите, что: 1) $$OM=OK$$; 2) точки $$M$$, $$O$$ и $$K$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. Так как $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$, а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, то

$$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle CAO=\angle DBO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOM$$ и $$BOK$$. По условию $$AM=BK$$, а из равенства треугольников $$AOC$$ и $$BOD$$ следует, что

$$\angle MAO=\angle KBO.$$

Кроме того, $$AO=OB$$. Значит,

$$\triangle AOM \cong \triangle BOK$$ по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно,

$$OM=OK.$$

Также из равенства треугольников имеем

$$\angle AOM=\angle BOK.$$

Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то сумма смежных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle AOM+\angle MOB=\angle AOB=180^\circ.$$

Но $$\angle AOM=\angle BOK$$, значит

$$\angle MOK=\angle AOB=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$M, O, K$$ лежат на одной прямой.

Ответ

$$OM=OK$$, точки $$M, O, K$$ лежат на одной прямой.