Упр.187 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 187. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$A’D’C’$$.

Так как $$AD$$ и $$A’D’$$ — биссектрисы, то

$$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle D’A’C’=\frac{1}{2}\angle A’.$$

По условию $$\angle BAC=\angle B’A’C’$$, значит $$\angle A=\angle A’$$. Тогда

$$\angle DAC=\angle D’A’C’.$$

Кроме того, по условию $$AD=A’D’$$ и $$\angle ADC=\angle A’D’C’.$$

Следовательно, $$\triangle ADC \cong \triangle A’D’C’$$ по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем $$AC=A’C’$$ и $$\angle ACD=\angle A’C’D’.$$

2) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A’B’C’$$.

Имеем:

$$\angle BAC=\angle B’A’C’$$ — по условию,

$$AC=A’C’$$ — как соответствующие стороны равных треугольников,

$$\angle ACB=\angle A’C’B’$$ — так как точки $$D$$ и $$D’$$ лежат на сторонах $$BC$$ и $$B’C’$$, а из равенства треугольников $$ADC$$ и $$A’D’C’$$ следует равенство углов при вершинах $$C$$ и $$C’$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$$ по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.