Упр.186 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 186. Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла.

1) Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$A’D’C’$$.

Так как $$AD$$ и $$A’D’$$ — биссектрисы углов $$\angle A$$ и $$\angle A’$$, то

$$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle D’A’C’=\frac{1}{2}\angle A’.$$

По условию $$\angle BAC=\angle B’A’C’$$, значит соответствующие углы при вершинах $$A$$ и $$A’$$ равны, а потому

$$\angle DAC=\angle D’A’C’.$$

Кроме того, по условию $$AD=A’D’$$ и $$AC=A’C’.$$

Следовательно, $$\triangle ADC \cong \triangle A’D’C’$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle ACD=\angle A’C’D’.$$

2) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A’B’C’.$$

Имеем:

$$AC=A’C’$$ — по условию,

$$\angle BAC=\angle B’A’C’$$ — по условию,

$$\angle ACB=\angle A’C’B’$$ — как соответствующие углы равных треугольников $$ADC$$ и $$A’D’C’.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Что и требовалось доказать.