Упр.185 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 185. Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$A’M’C’$$. Так как $$M$$ и $$M’$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B’C’$$, то

$$MC=\frac{1}{2}BC,\qquad M’C’=\frac{1}{2}B’C’.$$

По условию $$BC=B’C’$$, значит

$$MC=M’C’.$$

Кроме того, по условию $$AM=A’M’$$ и $$\angle AMC=\angle A’M’C’.$$

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle A’M’C’$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle ACM=\angle A’C’M’.$$

Так как точки $$B, M, C$$ и $$B’, M’, C’$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle ACB$$ и $$\angle A’C’B’$$ являются смежными с равными углами $$\angle ACM$$ и $$\angle A’C’M’$$ соответственно. Значит,

$$\angle ACB=\angle A’C’B’.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A’B’C’$$. Имеем:

$$BC=B’C’,$$

$$AC=A’C’,$$

$$\angle ACB=\angle A’C’B’.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$$ по первому признаку равенства треугольников.