Упр.182 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 182. На рисунке 148 прямые m и n — серединные перпендикуляры сторон АВ и АС треугольника АВС. Докажите, что точка О равноудалена от всех вершин данного треугольника.

Рассмотрим треугольники $$AEO$$ и $$BEO$$. Так как $$m$$ — серединный перпендикуляр стороны $$AB$$, то $$OE \perp AB$$ и $$AE = EB$$. Следовательно, $$\angle AEO = \angle BEO = 90^\circ$$, $$EO$$ — общая сторона.

Значит, $$\triangle AEO \cong \triangle BEO$$ по первому признаку равенства треугольников, откуда

$$AO = BO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AFO$$ и $$CFO$$. Так как $$n$$ — серединный перпендикуляр стороны $$AC$$, то $$OF \perp AC$$ и $$AF = FC$$. Тогда $$\angle AFO = \angle CFO = 90^\circ$$, $$FO$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle AFO \cong \triangle CFO$$ по первому признаку, значит

$$AO = CO.$$

Итак, $$AO = BO$$ и $$AO = CO$$, поэтому

$$AO = BO = CO.$$

Ответ

$$AO = BO = CO.$$