Упр.181 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 181. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Докажите, что треугольник АВС = треугольнику BAD.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$.

Так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит, $$\angle AOC=\angle BOD$$.

По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Следовательно, $$\triangle AOC=\triangle BOD$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем $$CA=BD$$ и $$\angle CAO=\angle DBO$$.

2) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$BAD$$.

У них:

$$AB$$ — общая сторона;
$$CA=BD$$;
$$\angle CAB=\angle DBA$$, так как $$\angle CAB=\angle CAO+\angle OAB$$ и $$\angle DBA=\angle DBO+\angle OBA$$, а $$\angle CAO=\angle DBO$$, $$\angle OAB=\angle OBA$$ не требуется; достаточно заметить, что лучи $$AO$$ и $$BO$$ лежат на одной прямой $$AB$$, поэтому равенство углов следует из равенства треугольников $$AOC$$ и $$BOD$$.

Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle BAD$$ по первому признаку равенства треугольников.