Упр.179 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 179. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответственным сторонам, равны.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC = \triangle A’B’C’,$$ то соответствующие стороны и углы равны:

$$AB=A’B’,$$ $$AC=A’C’,$$ $$\angle BAC=\angle B’A’C’.$$

Пусть $$BM$$ и $$B’M’$$ — медианы этих треугольников. Тогда точки $$M$$ и $$M’$$ — середины сторон $$AC$$ и $$A’C’$$ соответственно, значит

$$AM=\frac{1}{2}AC,\qquad A’M’=\frac{1}{2}A’C’.$$

Из равенства $$AC=A’C’$$ получаем:

$$AM=A’M’.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A’B’M’.$$ У них:

$$AB=A’B’,$$
$$AM=A’M’,$$
$$\angle BAM=\angle B’A’M’.$$

Последнее равенство верно, так как точки $$M$$ и $$M’$$ лежат на сторонах $$AC$$ и $$A’C’,$$ следовательно, $$\angle BAM=\angle BAC$$ и $$\angle B’A’M’=\angle B’A’C’.$$

Значит, $$\triangle ABM=\triangle A’B’M’$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие стороны равны:

$$BM=B’M’.$$