Упр.178 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 178. Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведённые из вершин соответственных углов, равны.

1) Так как $$\triangle ABC = \triangle A’B’C’,$$ то соответствующие стороны и углы равны:

$$AC=A’C’,$$

$$\angle BAC=\angle B’A’C’,$$

$$\angle BCA=\angle B’C’A’.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$A’D’C’.$$

Поскольку $$CD$$ и $$C’D’$$ — биссектрисы, то

$$\angle DCA=\frac{1}{2}\angle BCA=\frac{1}{2}\angle B’C’A’=\angle D’C’A’.$$

Кроме того,

$$\angle DAC=\angle D’A’C’$$

как углы, равные соответственно углам $$\angle BAC$$ и $$\angle B’A’C’.$$

Итак, в треугольниках $$ADC$$ и $$A’D’C’$$ равны сторона $$AC=A’C’$$ и прилежащие к ней углы:

$$\angle DAC=\angle D’A’C’,$$

$$\angle DCA=\angle D’C’A’.$$

Следовательно, $$\triangle ADC=\triangle A’D’C’$$ по второму признаку равенства треугольников. Значит, соответствующие стороны равны:

$$CD=C’D’.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$CD=C’D’.$$