Упр.131 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 131. На рисунке 106 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?

Если прямая пересекает отрезок, то его концы лежат по разные стороны от этой прямой.

Пронумеруем вершины тринадцатиугольника по порядку числами от $$1$$ до $$13$$. Предположим, что некоторая прямая пересекает все его стороны и не проходит ни через одну вершину.

Тогда при переходе от одной вершины к соседней они должны попеременно лежать по разные стороны от прямой. Значит, все чётные вершины окажутся по одну сторону от прямой, а все нечётные — по другую.

Но вершины $$1$$ и $$13$$ — соседние, а обе они нечётные, следовательно, лежат по одну сторону от прямой. Тогда сторона $$1\,13$$ не может пересекать эту прямую, что противоречит условию.

Следовательно, прямая не может пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин.

Ответ

Нет.