Упр.127 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На рисунке 105 $$\angle ABD = \angle FBK$$, $$\angle DBF = \angle КВС$$. Докажите, что $$BF \perp AC$$.

Рассмотрим углы $$\angle ABF$$ и $$\angle CBF$$.

По условию $$\angle ABD=\angle FBK$$ и $$\angle DBF=\angle KBC$$, значит

$$\angle ABF=\angle ABD+\angle DBF,$$

$$\angle CBF=\angle FBK+\angle KBC.$$

Так как $$\angle ABD=\angle FBK$$ и $$\angle DBF=\angle KBC$$, то

$$\angle ABF=\angle CBF.$$

Теперь рассмотрим угол $$\angle ABC$$:

$$\angle ABC=\angle ABF+\angle FBC.$$

Но $$\angle FBC=\angle CBF$$, следовательно

$$\angle ABC=\angle ABF+\angle ABF=2\angle ABF.$$

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle ABC=180^\circ$$. Тогда

$$2\angle ABF=180^\circ,$$

$$\angle ABF=90^\circ.$$

Следовательно, $$BF\perp AC$$.

Ответ

$$BF\perp AC.$$