Упр.122 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 122. Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендикулярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой.

Обозначим через $$OE$$ биссектрису угла $$AOB$$, а через $$OF$$ — биссектрису угла $$BOC$$. По условию $$OE \perp OF$$, значит $$\angle EOF=90^\circ$$.

Так как $$OE$$ — биссектриса угла $$AOB$$, то

$$\angle AOE=\angle EOB,$$

следовательно,

$$\angle AOB=\angle AOE+\angle EOB=2\angle EOB.$$

Аналогично, поскольку $$OF$$ — биссектриса угла $$BOC$$, имеем

$$\angle BOF=\angle FOC,$$

откуда

$$\angle BOC=\angle BOF+\angle FOC=2\angle BOF.$$

Теперь рассмотрим угол $$AOC$$:

$$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC.$$

Подставим найденные выражения:

$$\angle AOC=2\angle EOB+2\angle BOF=2(\angle EOB+\angle BOF).$$

Но $$\angle EOB+\angle BOF=\angle EOF=90^\circ$$, значит

$$\angle AOC=2\cdot 90^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$A$$, $$O$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Ответ

$$A,\,O,\,C$$ лежат на одной прямой.