Упр.999 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, $$M$$ — середина отрезка $$AO$$. Найдите, если это возможно, такое число $$k$$, чтобы выполнялось равенство: а) $$AC=kAO$$; б) $$BO=kBD$$; в) $$OC=kCA$$; г) $$AB=kDC$$; д) $$BC=kDA$$; е) $$AM=kCA$$; ж) $$MC=kAM$$; з) $$AC=kCM$$; и) $$AO=kBD$$.
2. Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: $$(-4; 4)$$, $$(-5; 1)$$ и $$(-1; 5)$$. Сколько решений имеет задача?

а) Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, то точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Значит, $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AO}$$ сонаправлены, а $$|AC|=2|AO|$$. Поэтому $$k=2$$.

б) Точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, значит, $$\overrightarrow{BO}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ сонаправлены и $$|BO|=\frac12|BD|$$. Следовательно, $$k=\frac12$$.

в) Векторы $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположно направлены, а $$|OC|=\frac12|CA|$$. Поэтому $$k=-\frac12$$.

г) В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены: $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$. Значит, $$k=1$$.

д) Векторы $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ противоположно направлены, а $$|BC|=|DA|$$. Следовательно, $$k=-1$$.

е) Точка $$M$$ — середина отрезка $$AO$$, а $$O$$ — середина $$AC$$. Тогда $$AM=\frac12 AO=\frac14 AC$$. Векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположно направлены, значит, $$k=-\frac14$$.

ж) Отрезок $$MC$$ лежит на прямой $$AC$$, причём $$AM=\frac14 AC$$, а $$MC=AC-AM=\frac34 AC$$. Тогда

$$MC=3\cdot AM,$$

и векторы $$\overrightarrow{MC}$$ и $$\overrightarrow{AM}$$ сонаправлены. Следовательно, $$k=3$$.

з) Векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{CM}$$ противоположно направлены. Так как $$CM=\frac34 AC$$, то

$$AC=\frac43\,CM.$$

Значит, $$k=-\frac43$$.

и) Векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ неколлинеарны, поэтому равенство $$\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}$$ невозможно ни при каком $$k$$.

Ответ: а) $$2$$; б) $$\frac12$$; в) $$-\frac12$$; г) $$1$$; д) $$-1$$; е) $$-\frac14$$; ж) $$3$$; з) $$-\frac43$$; и) невозможно.