Упр.997 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны а. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками.

$$AB=\sqrt{(3-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(0+3)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$CD=\sqrt{(-3-0)^2+(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$AD=\sqrt{(3-0)^2+(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$

Получили, что

$$AB=BC=CD=DA.$$

Значит, $ABCD$ — ромб.

Теперь найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{(3+3)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6,$$
$$BD=\sqrt{(0-0)^2+(5+1)^2}=\sqrt{36}=6.$$

Следовательно,

$$AC=BD.$$

Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. Значит, четырёхугольник $ABCD$ — квадрат.