Упр.996 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство $$OA+OC=OB+OD$$.
- Задание учебника 2023 года. Вершины треугольника ABC имеют координаты А $$(-5;13)$$, В $$(3;5)$$, С $$(-3;-1)$$. Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.
Пусть $$M$$, $$N$$, $$K$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда координаты середины отрезка находятся по формулам:
$$x=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$
1) Найдём координаты точки $$M$$:
$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-5+3}{2}=-1,$$
$$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{13+5}{2}=9.$$
Значит, $$M(-1;9).$$
2) Найдём координаты точки $$N$$:
$$x_N=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{3+(-3)}{2}=0,$$
$$y_N=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{5+(-1)}{2}=2.$$
Значит, $$N(0;2).$$
3) Найдём координаты точки $$K$$:
$$x_K=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-5+(-3)}{2}=-4,$$
$$y_K=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{13+(-1)}{2}=6.$$
Значит, $$K(-4;6).$$
б) Медиана, проведённая к стороне $$AC$$, — это отрезок $$BK$$. Его длина:
$$BK=\sqrt{(3-(-4))^2+(5-6)^2}=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$
в) Средние линии треугольника:
$$MN=\sqrt{(-1-0)^2+(9-2)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$
$$MK=\sqrt{(-1-(-4))^2+(9-6)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$NK=\sqrt{(0-(-4))^2+(2-6)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$
Ответ: $$M(-1;9),\ N(0;2),\ K(-4;6);$$ $$BK=5\sqrt{2};$$ $$MN=5\sqrt{2},\ MK=3\sqrt{2},\ NK=4\sqrt{2}.$$
