Упр.995 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, $$O$$ — произвольная точка. Докажите, что $$OA+OB+OC=OA_1+OB_1+OC_1$$.
- На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $$M_1(-2; 4)$$ и $$M_2(6; 8)$$.
Пусть $$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{OC}=\mathbf c.$$ Тогда
$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_1}.$$
Сложим эти равенства:
$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$
Осталось доказать, что
$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$
Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон треугольника, то
$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\overrightarrow{CB}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}\right).$$
Но
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\vec 0,$$
значит,
$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$
Что и требовалось доказать.
