Упр.994 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка С делит отрезок АВ в отношении $$m:n$$, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство $$OC=\frac{n}{m+n}OA+\frac{m}{m+n}OB$$.
2. Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:
   а) $$D(1;1),\ A(5;4),\ B(4;-3),\ C(-2;5)$$;
   б) $$D(1;0),\ A(7;-8),\ B(-5;8),\ C(9;6)$$.

а) Найдём расстояния от точки $$D(1;1)$$ до точек $$A(5;4)$$, $$B(4;-3)$$ и $$C(-2;5)$$ по формуле расстояния между двумя точками:

$$AD=\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$
$$DB=\sqrt{(4-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
$$DC=\sqrt{(-2-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Следовательно, $$AD=DB=DC=5$$, то есть точка $$D$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

б) Аналогично для точки $$D(1;0)$$:

$$AD=\sqrt{(7-1)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
$$DB=\sqrt{(-5-1)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
$$DC=\sqrt{(9-1)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Значит, $$AD=DB=DC=10$$, поэтому точка $$D$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Ответ: а) $$AD=DB=DC=5$$; б) $$AD=DB=DC=10$$.