Упр.991 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На сторонах $$MN$$ и $$NP$$ треугольника $$MNP$$ отмечены соответственно точки $$X$$ и $$Y$$ так, что $$\frac{MX}{XN}=\frac{3}{2}$$ и $$\frac{NY}{YP}=\frac{3}{2}$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{XY}$$ и $$\overrightarrow{MP}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{NM}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{NP}$$.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками $$M_1(x_1; 0)$$ и $$M_2(x_2; 0)$$ оси абсцисс вычисляется по формуле $$d=\lvert x_1-x_2\rvert$$.
Так как $$\frac{MX}{XN}=\frac{3}{2},$$ то отрезок $$MN$$ состоит из $$5$$ равных частей. Тогда
$$NX=\frac{2}{5}MN=\frac{2}{5}\vec a,$$
поскольку $$\vec a=\overrightarrow{NM}$$, а значит $$\overrightarrow{NX}=-\overrightarrow{XN}=-\frac{2}{5}\vec a.$$
Аналогично, из условия $$\frac{NY}{YP}=\frac{3}{2}$$ получаем, что $$NP$$ состоит из $$5$$ равных частей, поэтому
$$NY=\frac{3}{5}NP=\frac{3}{5}\vec b,$$
где $$\vec b=\overrightarrow{NP}.$$
Теперь найдём искомые векторы:
$$\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XN}+\overrightarrow{NY}=-\overrightarrow{NX}+\overrightarrow{NY}=-\frac{2}{5}\vec a+\frac{3}{5}\vec b,$$
$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=-\vec a+\vec b.$$
Ответ: $$\overrightarrow{XY}=-\frac{2}{5}\vec a+\frac{3}{5}\vec b,\qquad \overrightarrow{MP}=-\vec a+\vec b.$$
