Упр.990 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$N$$ так, что $$BN=2NC$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{AN}$$ через векторы $$\vec{a}=\overrightarrow{BA}$$ и $$\vec{b}=\overrightarrow{BC}$$.
Даны векторы $$\vec{a}=\{3;4\}$$, $$\vec{b}=\{6;-8\}$$, $$\vec{c}=\{1;5\}$$.
а) Найдите координаты векторов $$\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}$$, $$\vec{q}=\vec{b}+\vec{c}$$, $$\vec{r}=2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$$, $$\vec{s}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$$.
б) Найдите $$|\vec{a}|$$, $$|\vec{b}|$$, $$|\vec{p}|$$, $$|\vec{q}|$$.

Подробный ответ

Так как точка $$N$$ лежит на стороне $$BC$$ и $$BN=2NC$$, то

$$BC=BN+NC=2NC+NC=3NC,$$

следовательно,

$$\vec{BN}=\frac{2}{3}\vec{BC}=\frac{2}{3}\vec b.$$

Теперь выразим $$\vec{AN}$$ через $$\vec a=\vec{BA}$$ и $$\vec b=\vec{BC}$$:

$$\vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}.$$

Но $$\vec{AB}=-\vec{BA}=-\vec a$$, значит

$$\vec{AN}=-\vec a+\frac{2}{3}\vec b.$$

Ответ: $$\vec{AN}=-\vec a+\frac{2}{3}\vec b.$$