Упр.989 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что для любых векторов $$\mathbf{x}$$ и $$\mathbf{y}$$ справедливы неравенства $$|\mathbf{x}|-|\mathbf{y}|<|\mathbf{x}+\mathbf{y}|<|\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$$.
- Найдите координаты вектора $$\mathbf{p}$$ и его длину, если:
а) $$\mathbf{p}=7\mathbf{a}-3\mathbf{b}$$, $$\mathbf{a}=\{1;-1\}$$, $$\mathbf{b}=\{5;-2\}$$;
б) $$\mathbf{p}=4\mathbf{a}-2\mathbf{b}$$, $$\mathbf{a}=\{6;3\}$$, $$\mathbf{b}=\{5;4\}$$;
в) $$\mathbf{p}=5\mathbf{a}-4\mathbf{b}$$, $$\mathbf{a}=\left\{\frac{3}{5};\frac{1}{5}\right\}$$, $$\mathbf{b}=\{6;-1\}$$;
г) $$\mathbf{p}=3(-2\mathbf{a}-4\mathbf{b})$$, $$\mathbf{a}=\{1;5\}$$, $$\mathbf{b}=\{-1;-1\}$$.
Для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$ справедливо неравенство треугольника:
$$|\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$
Применим его к вектору $$\vec x$$ и вектору $$-\vec y$$. Тогда
$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|-\vec y|=|\vec x|+|\vec y|.$$
Теперь запишем неравенство треугольника в виде
$$\vec x=(\vec x+\vec y)-\vec y.$$
Тогда
$$|\vec x|\le |\vec x+\vec y|+|\vec y|,$$
откуда
$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|.$$
Аналогично, из
$$\vec y=(\vec x+\vec y)-\vec x$$
получаем
$$|\vec y|\le |\vec x+\vec y|+|\vec x|,$$
то есть
$$-|\vec x|\le |\vec x+\vec y|-|\vec y|.$$
Следовательно,
$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$
Если векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ неколлинеарны, то знак равенства в неравенстве треугольника невозможен, поэтому получаем строгие неравенства:
$$|\vec x|-|\vec y|<|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$
Если же $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны, то неравенства остаются верными в нестрогой форме.
