Упр.988 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы $$m$$ и $$n$$ сонаправлены, то $$|m+n|=|m|+|n|$$, а если $$m$$ и $$n$$ противоположно направлены, причём $$|m|>|n|$$, то $$|m+n|=|m|-|n|$$.
2. Векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны. Найдите такое число $$x$$ (если это возможно), чтобы векторы $$p$$ и $$q$$ были коллинеарны:
   а) $$p=2a-b,\quad q=a+xb$$;
   б) $$p=xa-b,\quad q=a+xb$$;
   в) $$p=a+xb,\quad q=a-2b$$;
   г) $$p=2a+b,\quad q=xa+b$$.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны. Тогда векторы $$\vec p$$ и $$\vec q$$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты при базисе $$\vec a,\vec b$$ пропорциональны.

а)

$$\vec p=2\vec a-\vec b,\qquad \vec q=\vec a+x\vec b.$$

Для коллинеарности нужно, чтобы коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$ были пропорциональны:

$$\frac{2}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Отсюда

$$2x=-1,\qquad x=-\frac12.$$

б)

$$\vec p=x\vec a-\vec b,\qquad \vec q=\vec a+x\vec b.$$

Тогда

$$\frac{x}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Получаем

$$x^2=-1.$$

Действительных решений нет, значит, таких значений $$x$$ не существует.

в)

$$\vec p=\vec a+x\vec b,\qquad \vec q=\vec a-2\vec b.$$

Имеем

$$\frac{1}{1}=\frac{x}{-2}.$$

Следовательно,

$$x=-2.$$

г)

$$\vec p=2\vec a+\vec b,\qquad \vec q=x\vec a+\vec b.$$

Для коллинеарности:

$$\frac{2}{x}=\frac{1}{1}.$$

Отсюда

$$x=2.$$

Ответ: а) $$x=-\frac12$$; б) решений нет; в) $$x=-2$$; г) $$x=2$$.