Упр.987 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины B к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Дан ромб ABCD, диагонали которого равны $$2a$$ и $$2b$$. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых $$AM^2+DM^2=BM^2+CM^2$$.

Подробный ответ

Пусть $$BH \perp AD$$, где $$H \in AD$$. Тогда в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$ равны по гипотенузе и катету, значит, $$AH=FD$$.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

Так как $$BH$$ — высота, то отрезок $$MN$$ разбивается на три части:

$$MN=MS+SP+PN.$$

При этом $$MS$$ — средняя линия треугольника $$ABH$$, а $$PN$$ — средняя линия треугольника $$CFD$$, поэтому

$$MS=\frac12 AH,\qquad PN=\frac12 FD.$$

Из равенства $$AH=FD$$ получаем

$$2MS=AH,\qquad 2PN=FD,$$

следовательно,

$$MN=MS+SP+PN=FD+HF.$$

Но $$FD+HF=HD$$, а по условию больший отрезок основания $$AD$$ равен $$7$$ см, значит

$$MN=HD=7\text{ см}.$$