Упр.986 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых (AM2 + DM2) — (ВМ2 + СМ2) = 2АВ2.

Подробный ответ

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\ D(a;0),\ B(0;b),\ C(a;b),\ M(x;y).$$

Тогда по формуле расстояния:

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$CM^2=(a-x)^2+(b-y)^2.$$

Подставим эти выражения в данное равенство:

$$ (AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2)=2AB^2 $$
$$ \bigl(x^2+y^2+(a-x)^2+y^2\bigr)-\bigl(x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+(b-y)^2\bigr)=2b^2. $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ 2y^2-2(b-y)^2=2b^2 $$
$$ y^2-(b^2-2by+y^2)=b^2 $$
$$ 2by-b^2=b^2 $$
$$ 2by=2b^2. $$

Так как $$b\neq 0,$$ получаем:

$$y=b.$$

Значит, все точки $$M$$ лежат на прямой $$y=b,$$ то есть на прямой, параллельной $$AD$$ и проходящей через точку $$B.$$