Упр.985 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: окажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей. Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2 — AM2= 2АВ2.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0)$$, $$B(a;0)$$, где $$a=AB$$, а точка $$M$$ имела координаты $$M(x;y)$$.

Тогда по формуле расстояния:

$$BM^2=(a-x)^2+y^2,$$

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$AB^2=a^2.$$

По условию

$$BM^2-AM^2=2AB^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$ (a-x)^2+y^2-(x^2+y^2)=2a^2 $$
$$ a^2-2ax+x^2-x^2=2a^2 $$
$$ a^2-2ax=2a^2 $$
$$ -2ax=a^2 $$
$$ x=-\frac{a}{2}. $$

Значит, абсцисса точки $$M$$ постоянна и равна $$-\frac{a}{2}$$. Следовательно, множество всех таких точек — это прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через точку, симметричную середине отрезка $$AB$$ относительно точки $$A$$.

Ответ

Множество всех точек $$M$$ — прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через точку с координатами $$\left(-\frac{a}{2};0\right)$$, где $$a=AB$$.