Упр.985 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
- Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$BM^2-AM^2=2AB^2$$.
Введём систему координат так, чтобы точка $$A$$ имела координаты $$A(0;0)$$, а точка $$B$$ — координаты $$B(a;0)$$, где $$a=AB$$.
Пусть $$M(x;y)$$ — искомая точка. Тогда
$$BM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$AB^2=a^2.$$
По условию
$$BM^2-AM^2=2AB^2.$$
Подставим выражения:
$$(a-x)^2+y^2-(x^2+y^2)=2a^2$$
$$a^2-2ax+x^2-x^2=2a^2$$
$$a^2-2ax=2a^2$$
$$-2ax=a^2$$
$$x=-\frac{a}{2}.$$
Координата $$y$$ может быть любой, значит множество всех точек $$M$$ задаётся уравнением $$x=-\frac{a}{2}$$. Это прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через точку, симметричную середине отрезка $$AB$$ относительно точки $$A$$.
Ответ
Множество всех точек $$M$$ — прямая $$x=-\frac{a}{2}$$, то есть прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через точку с абсциссой $$-\frac{AB}{2}$$.
