Упр.984 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из концов диаметра $$CD$$ данной окружности проведены перпендикуляры $$CC_1$$ и $$DD_1$$ к касательной, не перпендикулярной к диаметру $$CD$$. Найдите $$DD_1$$, если $$CC_1=11\text{ см}$$, а $$CD=27\text{ см}$$.
2. Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$AM^2-BM^2=k$$, где $$k$$ — данное число.

Обозначим радиус окружности через $$r$$. Так как прямая $$a$$ касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $$OO_1 \perp a$$, а также $$CC_1 \perp a$$ и $$DD_1 \perp a$$, значит, $$OO_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$$.

Точки $$C, O, D$$ лежат на одной прямой, причём $$CD$$ — диаметр, поэтому $$OC=OD=r$$. Тогда

$$CD=OC+OD=2r=27,$$

откуда

$$r=\frac{27}{2}=13{,}5.$$

Рассмотрим трапецию $$CDD_1C_1$$. Отрезок $$OO_1$$ соединяет середины её боковых сторон $$CD$$ и $$C_1D_1$$, значит, $$OO_1$$ — средняя линия трапеции. Поэтому

$$OO_1=\frac{DD_1+CC_1}{2}.$$

Но $$OO_1=r=13{,}5$$, а $$CC_1=11$$. Тогда

$$13{,}5=\frac{DD_1+11}{2},$$

$$DD_1+11=27,$$

$$DD_1=16.$$

Ответ: $$16\text{ см}$$.