Упр.982 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) разделена на четыре равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне \(BC\). Стороны \(AB\) и \(AC\) треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен \(3{,}4\) см. Найдите два других отрезка.
- Точка \(B\) — середина отрезка \(AC\), длина которого равна \(2\). Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых:
а) $$AM^2+BM^2+CM^2=50$$;
б) $$AM^2+2BM^2+3CM^2=4$$.
Обозначим через $$B_1, B_2, B_3$$ точки деления стороны $$AB$$, а через $$C_1, C_2, C_3$$ — точки пересечения проведённых через них прямых с стороной $$AC$$.
Так как прямые $$B_1C_1,\; B_2C_2,\; B_3C_3$$ параллельны стороне $$BC$$, то по теореме Фалеса
$$AC_1=C_1C_2=C_2C_3=C_3C.$$
Рассмотрим треугольник $$AB_2C_2$$. Отрезок $$B_1C_1$$ является его средней линией, так как $$AB_1=B_1B_2$$ и $$AC_1=C_1C_2$$. Значит,
$$B_1C_1=\frac{1}{2}B_2C_2.$$
По условию $$B_1C_1=3{,}4$$ см, следовательно,
$$B_2C_2=2\cdot 3{,}4=6{,}8\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим трапецию $$C_2B_2BC$$. Отрезок $$B_3C_3$$ в ней является средней линией, поэтому
$$B_3C_3=\frac{B_2C_2+BC}{2}.$$
Но $$B_2C_2$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит
$$BC=2\cdot 6{,}8=13{,}6\text{ см}.$$
Тогда
$$B_3C_3=\frac{6{,}8+13{,}6}{2}=10{,}2\text{ см}.$$
Ответ: $$6{,}8\text{ см}$$ и $$10{,}2\text{ см}$$.
