Упр.980 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).
2. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $$O$$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=2,\qquad BO=OD=\frac{BD}{2}=5.$$

Выберем систему координат так, чтобы $$O(0;0)$$, диагональ $$AC$$ лежала на оси $$Ox$$, а диагональ $$BD$$ — на оси $$Oy$$. Тогда

$$A(-2;0),\quad C(2;0),\quad B(0;5),\quad D(0;-5).$$

Найдём уравнения прямых, содержащих стороны ромба.

Прямая $$AB$$ проходит через точки $$A(-2;0)$$ и $$B(0;5)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{5-0}{0-(-2)}=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$y=\frac{5}{2}x+5,$$

или в общем виде

$$5x-2y+10=0.$$

Так как $$CD \parallel AB$$, то у прямой $$CD$$ тот же угловой коэффициент $$\frac{5}{2}$$. Подставим точку $$C(2;0)$$:

$$0=\frac{5}{2}\cdot 2+b,$$

откуда $$b=-5$$. Значит,

$$y=\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x-2y-10=0.$$

Прямая $$BC$$ проходит через точки $$B(0;5)$$ и $$C(2;0)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{0-5}{2-0}=-\frac{5}{2}.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{5}{2}x+5,$$

или

$$5x+2y-10=0.$$

Так как $$BC \parallel AD$$, то для прямой $$AD$$ угловой коэффициент также равен $$-\frac{5}{2}$$. Подставим точку $$D(0;-5)$$:

$$-5=b,$$

поэтому

$$y=-\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x+2y+10=0.$$

Ответ

$$AB:\ 5x-2y+10=0,$$

$$BC:\ 5x+2y-10=0,$$

$$CD:\ 5x-2y-10=0,$$

$$AD:\ 5x+2y+10=0.$$