Упр.978 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
- Начертите прямую, заданную уравнением: а) $$y=3$$; б) $$x=-2$$; в) $$y=-4$$; г) $$x=7$$.
Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.
Проведём через точки $$M$$ и $$N$$ отрезок $$MN$$. Докажем, что он параллелен основаниям трапеции и равен половине разности их длин.
Рассмотрим векторы:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$$
и также
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$
Сложим эти равенства:
$$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} +\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$
Так как $$M$$ — середина диагонали $$AC$$, то $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec 0$$. Аналогично, поскольку $$N$$ — середина диагонали $$BD$$, имеем $$\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec 0$$.
Тогда
$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}.$$
Так как $$AD \parallel BC$$, то векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ коллинеарны, значит и $$\overrightarrow{MN}$$ коллинеарен им. Поэтому
$$MN \parallel AD \parallel BC.$$
Кроме того, длина отрезка $$MN$$ равна половине разности длин оснований:
$$MN=\frac{1}{2}\,|AD-BC|.$$
Что и требовалось доказать.
