Упр.977 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На сторонах треугольника $$ABC$$ построены параллелограммы $$АВВ_1А_2$$, $$ВСС_1В_2$$, $$АСС_2А_1$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$А_1А_2$$, $$В_1В_2$$ и $$С_1С_2$$.
- Задание учебника 2023 года. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку $$M(2; 5)$$ и параллельных осям координат.
Обозначим векторы сторон построенных параллелограммов:
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{AA_2}-\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{BB_2}-\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{CC_2}-\overrightarrow{CC_1}.$$
Так как $$ABB_1A_2,$$ $$BCC_1B_2$$ и $$ACC_2A_1$$ — параллелограммы, то
$$\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{BB_2}=\overrightarrow{CC_1},\qquad \overrightarrow{CC_2}=\overrightarrow{AA_1}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2} = (\overrightarrow{AA_2}-\overrightarrow{AA_1}) +(\overrightarrow{BB_2}-\overrightarrow{BB_1}) +(\overrightarrow{CC_2}-\overrightarrow{CC_1}).$$
Подставляя равные векторы, получаем
$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{AA_1} -\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{CC_1} =\vec 0.$$
Значит, векторы $$\overrightarrow{A_1A_2},\ \overrightarrow{B_1B_2},\ \overrightarrow{C_1C_2}$$ можно расположить как стороны замкнутого треугольника. Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$
