Упр.976 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан произвольный треугольник $$ABC$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $$ABC$$.
Найдите координаты точки пересечения прямых $$4x+3y-6=0$$ и $$2x+y-4=0$$.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC.$$ Тогда по свойству медианы:

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),$$

$$\overrightarrow{BB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right),$$

$$\overrightarrow{CC_1}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right).$$

Сложим эти векторы:

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} =\frac12\Bigl((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\Bigr)=\overrightarrow{0}.$$

Значит, если последовательно отложить векторы $$\overrightarrow{AA_1},$$ $$\overrightarrow{BB_1},$$ $$\overrightarrow{CC_1}$$ по правилу многоугольника, то получится замкнутый треугольник. Обозначим его вершины через $$M, N, P$$ так, что

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{PM}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Тогда стороны треугольника $$MNP$$ соответственно параллельны и равны медианам треугольника $$ABC.$$ Следовательно, такой треугольник существует.