Упр.975 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы а = ED и b = EF. Найдите координаты точек пересечения прямой 3х — 4у + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{ED},\qquad \vec b=\overrightarrow{EF}.$$

Так как $$G$$ — середина $$DF$$, то

$$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED}=\vec b-\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DG}=\frac12\overrightarrow{DF}=\frac12(\vec b-\vec a).$$

Поскольку $$O$$ — середина медианы $$EG$$, то $$O$$ — середина отрезка $$EG$$, значит

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{DG}+\frac12\overrightarrow{GE}.$$

Найдём $$\overrightarrow{GE}$$:

$$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DG}-\vec a=-\frac12(\vec b-\vec a)-\vec a=-\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{DO} =\frac12(\vec b-\vec a)+\frac12\left(-\frac12\vec b-\frac12\vec a\right) =\frac12\vec b-\frac12\vec a-\frac14\vec b-\frac14\vec a =\frac14\vec b-\frac34\vec a. $$

Найдём точки пересечения прямой $$3x-4y+12=0$$ с осями координат.

1) С осью $$Ox$$: при $$y=0$$ получаем

$$3x+12=0,\qquad x=-4.$$

Значит, точка пересечения: $$A(-4;0).$$

2) С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем

$$-4y+12=0,\qquad y=3.$$

Значит, точка пересечения: $$B(0;3).$$

Чтобы начертить прямую, достаточно отметить точки $$A(-4;0)$$ и $$B(0;3)$$ и провести через них прямую.