Упр.975 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка $O$ — середина медианы $EG$ треугольника $DEF$. Выразите вектор $$\vec{DO}$$ через векторы $$\vec{a}=\vec{ED}$$ и $$\vec{b}=\vec{EF}$$.
Найдите координаты точек пересечения прямой $$3x-4y+12=0$$ с осями координат. Начертите эту прямую.

Подробный ответ

Пусть $$\vec a=\overrightarrow{ED},\qquad \vec b=\overrightarrow{EF}.$$

Так как $$G$$ — середина $$DF$$, то

$$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED}=\vec b-\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DG}=\frac12\overrightarrow{DF}=\frac12(\vec b-\vec a).$$

Поскольку $$O$$ — середина медианы $$EG$$, то $$O$$ — середина отрезка $$EG$$, значит

$$\overrightarrow{GO}=\frac12\overrightarrow{GE}.$$

Найдём $$\overrightarrow{GE}$$:

$$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DG}-\vec a=-\frac12(\vec b-\vec a)-\vec a=-\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$

Теперь

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{DG}+\frac12\overrightarrow{GE}.$$

Подставим:

$$\overrightarrow{DO} =\frac12(\vec b-\vec a)+\frac12\left(-\frac12\vec b-\frac12\vec a\right) =\frac12\vec b-\frac12\vec a-\frac14\vec b-\frac14\vec a =\frac14\vec b-\frac34\vec a.$$

Ответ: $$\overrightarrow{DO}=\frac14\vec b-\frac34\vec a.$$