Упр.973 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN = 1/2(AD + CB). Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

Подробный ответ

Найдём координаты середины отрезка $$AB$$, то есть точки $$M$$:

$$ x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{4+(-4)}{2}=0,\qquad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+0}{2}=3. $$

Значит, $$M(0;3)$$.

Прямая $$CM$$ проходит через точки $$C(-1;-4)$$ и $$M(0;3)$$. Найдём её уравнение в виде $$ax+by+c=0$$.

Подставим координаты точки $$M(0;3)$$:

$$ a\cdot 0+b\cdot 3+c=0 \;\Rightarrow\; 3b+c=0. $$

Подставим координаты точки $$C(-1;-4)$$:

$$ a\cdot(-1)+b\cdot(-4)+c=0. $$

Из равенства $$3b+c=0$$ получаем $$c=-3b$$. Тогда

$$ -a-4b-3b=0 \;\Rightarrow\; -a-7b=0 \;\Rightarrow\; a=-7b. $$

Можно взять, например, $$b=-1$$. Тогда $$a=7$$, $$c=3$$. Следовательно, уравнение прямой $$CM$$: