Упр.972 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM = MD. Выразите через векторы х = AD, у = АВ следующие векторы: а) АС, АО, СО, DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА; б) AM, МС, ВМ, ОМ. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).

Пусть $$\vec x=\overrightarrow{AD},\quad \vec y=\overrightarrow{AB}.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec y,$$ $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec x,$$ а диагонали пересекаются и делятся пополам, значит $$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}.$$

Найдём сначала диагональ:

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec x+\vec y.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{AO}=\frac12(\vec x+\vec y),\qquad \overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{OC}=-\frac12(\vec x+\vec y). $$

Далее:

$$ \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AO} =-\vec x+\frac12(\vec x+\vec y) =-\frac12\vec x+\frac12\vec y. $$

$$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\vec x+\vec x=2\vec x. $$

$$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO} =\vec x-\frac12(\vec x+\vec y) =\frac12\vec x-\frac12\vec y. $$

$$ \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA} =-\frac12(\vec x+\vec y)-\frac12(\vec x+\vec y) =-(\vec x+\vec y) =-\vec x-\vec y. $$

Так как точка $$M$$ лежит на стороне $$AD$$ и $$AM=MD,$$ то $$M$$ — середина $$AD$$. Следовательно,

$$ \overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\vec x. $$

Тогда

$$ \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC} =\frac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} =\frac12\vec x+\vec y. $$

$$ \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM} =-\vec y+\frac12\vec x =\frac12\vec x-\vec y. $$

$$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM} =-\frac12(\vec x+\vec y)+\frac12\vec x =-\frac12\vec y. $$

Теперь найдём уравнения прямых, проходящих через данные точки. Используем общий вид $$ax+by+c=0$$ и подставляем координаты точек.

а) Через точки $$A(1;-1)$$ и $$B(-3;2)$$:

$$ \begin{cases} a-b+c=0,\\ -3a+2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ -4a+3b=0. $$

Берём, например, $$a=3,\ b=4$$. Тогда из $$a-b+c=0$$ получаем $$c=1$$. Значит,

$$ 3x+4y+1=0. $$

б) Через точки $$C(2;5)$$ и $$D(5;2)$$:

$$ \begin{cases} 2a+5b+c=0,\\ 5a+2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 3a-3b=0 \Rightarrow a=b. $$

Пусть $$a=b=1$$. Тогда из $$2a+5b+c=0$$ имеем $$c=-7$$. Получаем:

$$ x+y-7=0. $$

в) Через точки $$M(0;1)$$ и $$N(-4;-5)$$:

$$ \begin{cases} b+c=0,\\ -4a-5b+c=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$c=-b$$. Подставим во второе:

$$ -4a-6b=0 \Rightarrow 2a+3b=0. $$

Можно взять $$a=3,\ b=-2$$, тогда $$c=2$$. Следовательно,

$$ 3x-2y+2=0. $$

Ответ

а) $$\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y,$$ $$\overrightarrow{AO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$ $$\overrightarrow{CO}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$ $$\overrightarrow{DO}=-\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$ $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\vec x,$$ $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$ $$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=-\vec x-\vec y.$$

б) $$\overrightarrow{AM}=\frac12\vec x,$$ $$\overrightarrow{MC}=\frac12\vec x+\vec y,$$ $$\overrightarrow{BM}=\frac12\vec x-\vec y,$$ $$\overrightarrow{OM}=-\frac12\vec y.$$

Уравнения прямых: а) $$3x+4y+1=0$$; б) $$x+y-7=0$$; в) $$3x-2y+2=0$$.