Упр.972 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а $M$ — такая точка на стороне $AD$, что $AM = MD$. Выразите через векторы $$\mathbf{x}=\overrightarrow{AD}$$, $$\mathbf{y}=\overrightarrow{AB}$$ следующие векторы: а) $$\overrightarrow{AC}$$, $$\overrightarrow{AO}$$, $$\overrightarrow{CO}$$, $$\overrightarrow{DO}$$, $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$$, $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}$$, $$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}$$; б) $$\overrightarrow{AM}$$, $$\overrightarrow{MC}$$, $$\overrightarrow{BM}$$, $$\overrightarrow{OM}$$.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) $$A(1;-1)$$ и $$B(-3;2)$$; б) $$C(2;5)$$ и $$D(5;2)$$; в) $$M(0;1)$$ и $$N(-4;-5)$$.

Подробный ответ

Пусть $$\vec x=\overrightarrow{AD},\qquad \vec y=\overrightarrow{AB}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec x,\qquad \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec y,$$

$$\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AO},\qquad \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AO}.$$

Так как $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec x+\vec y,$$ то

$$\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$

$$\overrightarrow{CO}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$

$$\overrightarrow{DO}=-\vec x+\frac12\vec x+\frac12\vec y=-\frac12\vec x+\frac12\vec y.$$

Тогда для пункта а) получаем:

$$\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y,$$

$$\overrightarrow{AO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$

$$\overrightarrow{CO}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$

$$\overrightarrow{DO}=-\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\vec x,$$

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\vec x-\frac12\vec x-\frac12\vec y=\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$

$$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}=-(\vec x+\vec y)=-\vec x-\vec y.$$

Теперь пункт б). Из условия $$AM=MD$$ следует, что точка $$M$$ — середина стороны $$AD$$, значит

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\vec x.$$

$$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac12\vec x+\vec y,$$

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\vec y+\frac12\vec x,$$

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y+\frac12\vec x=-\frac12\vec y.$$

Ответ:

$$\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{AO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y,\quad \overrightarrow{CO}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y,\quad \overrightarrow{DO}=-\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$
$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\vec x,\quad \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\frac12\vec x-\frac12\vec y,\quad \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=-\vec x-\vec y,$$
$$\overrightarrow{AM}=\frac12\vec x,\quad \overrightarrow{MC}=\frac12\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{BM}=\frac12\vec x-\vec y,\quad \overrightarrow{OM}=-\frac12\vec y.$$