Упр.969 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Пусть х = m + n, у = m-n. Выразите через m и n векторы: a)2х-2у; 6) 2х + 1/2у; в)-х-1/3у. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).
Пусть $$\vec x=\vec m+\vec n,$$ $$\vec y=\vec m-\vec n.$$ Тогда:
a) $$2\vec x-2\vec y=2(\vec m+\vec n)-2(\vec m-\vec n)=2\vec m+2\vec n-2\vec m+2\vec n=4\vec n.$$
б) $$2\vec x+\frac12\vec y=2(\vec m+\vec n)+\frac12(\vec m-\vec n)=2\vec m+2\vec n+\frac12\vec m-\frac12\vec n=\frac52\vec m+\frac32\vec n.$$
в) $$-\vec x-\frac13\vec y=-(\vec m+\vec n)-\frac13(\vec m-\vec n)=-\vec m-\vec n-\frac13\vec m+\frac13\vec n=-\frac43\vec m-\frac23\vec n.$$
Теперь найдём уравнение окружности с диаметром $$MN.$$ Центр окружности — середина отрезка $$MN,$$ а радиус равен половине длины диаметра.
а) $$M(-3;5),\ N(7;-3).$$
Координаты центра:
$$x_0=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{-3+7}{2}=2,$$ $$y_0=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{5+(-3)}{2}=1.$$
Значит, $$O(2;1).$$
Радиус:
$$R=MO=\sqrt{(2-(-3))^2+(1-5)^2}=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{41}.$$
Уравнение окружности:
$$ (x-2)^2+(y-1)^2=41. $$
б) $$M(2;-1),\ N(4;3).$$
Координаты центра:
$$x_0=\frac{2+4}{2}=3,$$ $$y_0=\frac{-1+3}{2}=1.$$
Значит, $$O(3;1).$$
Радиус:
$$R=MO=\sqrt{(3-2)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$$
Уравнение окружности:
$$ (x-3)^2+(y-1)^2=5. $$
Ответ
a) $$4\vec n;$$ б) $$\frac52\vec m+\frac32\vec n;$$ в) $$-\frac43\vec m-\frac23\vec n.$$
а) $$ (x-2)^2+(y-1)^2=41; $$ б) $$ (x-3)^2+(y-1)^2=5. $$
