Упр.964 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть $$\vec x$$ и $$\vec y$$ — заданные векторы. Чтобы построить сумму, откладываем векторы последовательно: к концу первого вектора прикладываем начало второго. Если один из коэффициентов равен $$0$$, соответствующий вектор не влияет на результат.

1) Для неколлинеарных векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$

Построения выполняются так:

• $$\vec x+2\vec y$$ — к вектору $$\vec x$$ последовательно откладываем два вектора, равных $$\vec y$$;
• $$\frac12\vec x+\vec y$$ — откладываем вектор, равный половине $$\vec x$$, затем прибавляем $$\vec y$$;
• $$3\vec x+\frac12\vec y$$ — откладываем три вектора, равных $$\vec x$$, и затем вектор, равный половине $$\vec y$$;
• $$\frac32\vec x-3\vec y$$ — откладываем $$\frac32\vec x$$, а затем вектор, противоположный $$3\vec y$$;
• $$0\vec x+4\vec y=4\vec y$$;
• $$-2\vec x+0\vec y=-2\vec x$$.

Таким образом, в пунктах д) и е) получаются соответственно векторы $$4\vec y$$ и $$-2\vec x$$.

2) Для двух коллинеарных ненулевых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$

Так как векторы коллинеарны, все их линейные комбинации тоже коллинеарны. Поэтому:

• $$\vec x+2\vec y$$;
• $$\frac12\vec x+\vec y$$;
• $$3\vec x+\frac12\vec y$$;
• $$\frac32\vec x-3\vec y$$;
• $$0\vec x+4\vec y=4\vec y$$;
• $$-2\vec x+0\vec y=-2\vec x$$.

Во всех случаях результат — вектор, лежащий на той же прямой, что и $$\vec x$$ и $$\vec y$$; его направление и длина определяются знаками и коэффициентами.

3) Точки окружности $$\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=25$$

Это окружность с центром $$O(3;5)$$ и радиусом $$5$$.

а) Если $$x=3$$, то

$$(3-3)^2+(y-5)^2=25,$$
$$(y-5)^2=25,$$
$$y-5=\pm 5.$$

Отсюда $$y=10$$ или $$y=0$$. Значит, точки: $$A(3;10)$$ и $$B(3;0)$$.

б) Если $$y=5$$, то

$$(x-3)^2+(5-5)^2=25,$$
$$(x-3)^2=25,$$
$$x-3=\pm 5.$$

Отсюда $$x=8$$ или $$x=-2$$. Значит, точки: $$C(-2;5)$$ и $$D(8;5)$$.

Ответ: для векторов — построения по правилам сложения и умножения на число; для окружности: а) $$A(3;10)$$, $$B(3;0)$$; б) $$C(-2;5)$$, $$D(8;5)$$.