Упр.961 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что для любых двух векторов $$\mathbf{x}$$ и $$\mathbf{y}$$ справедливо неравенство $$|\mathbf{x}-\mathbf{y}|<|\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$$. В каком случае $$|\mathbf{x}-\mathbf{y}|=|\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$$?
- Окружность задана уравнением $$(x+5)^2+(y-1)^2=16$$. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек $$A(-2;4)$$, $$B(-5;-3)$$, $$C(-7;-2)$$ и $$D(1;5)$$ лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
Для любых двух векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$ по неравенству треугольника
$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$
Равенство возможно тогда и только тогда, когда векторы $$\vec x$$ и $$-\vec y$$ сонаправлены, то есть когда $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены. Также равенство выполняется, если один из векторов равен нулевому.
Следовательно,
$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|,$$
а равенство $$|\vec x-\vec y|=|\vec x|+|\vec y|$$ имеет место, когда $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены, либо один из них равен $$\vec 0$$.
Теперь рассмотрим окружность
$$(x+5)^2+(y-1)^2=16.$$
Её центр $$O(-5;1)$$, радиус $$R=4$$.
Проверим точки:
- $$A(-2;4):\quad (-2+5)^2+(4-1)^2=3^2+3^2=18>16,$$ значит, точка $$A$$ лежит вне круга;
- $$B(-5;-3):\quad (-5+5)^2+(-3-1)^2=0^2+(-4)^2=16,$$ значит, точка $$B$$ лежит на окружности;
- $$C(-7;-2):\quad (-7+5)^2+(-2-1)^2=(-2)^2+(-3)^2=13<16,$$ значит, точка $$C$$ лежит внутри круга;
- $$D(1;5):\quad (1+5)^2+(5-1)^2=6^2+4^2=52>16,$$ значит, точка $$D$$ лежит вне круга.
Ответ: для векторов равенство возможно, когда они коллинеарны и противоположно направлены, либо один из них нулевой; для точек: внутри круга — $$C$$, на окружности — $$B$$, вне круга — $$A$$ и $$D$$.
