Упр.959 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Выразите через векторы $$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$$ и $$\vec{b}=\overrightarrow{AD}$$ векторы: $$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$$, $$\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}$$, $$\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$$, $$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}$$.
Начертите окружность, заданную уравнением:
а) $$x^2+y^2=9$$;
б) $$(x-1)^2+(y+2)^2=4$$;
в) $$(x+5)^2+(y-3)^2=25$$;
г) $$(x-1)^2+y^2=4$$;
д) $$x^2+(y+2)^2=2$$.

Подробный ответ

Параллелограмм удобно рассматривать через векторы сторон: $$\overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec b.$$ Тогда

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=-\vec b.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\vec a-\vec b.$$

Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, то точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Поэтому

$$\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b.$$

$$\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BO}=2\overrightarrow{BO}.$$

Но $$O$$ — середина $$AC$$, значит $$\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{BC}$$, а проще заметить, что

$$\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\vec a.$$

Наконец,

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AB}-(-\overrightarrow{AD})=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.$$

Ответ: $$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\vec b,\quad \overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=-\vec a,\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}=\vec b-\vec a.$$