Упр.958 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелограмм $$ABCD$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{AC}$$ через векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, если:
   а) $$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{BC}$$;
   б) $$\vec{a}=\overrightarrow{CB}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{CD}$$;
   в) $$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{DA}$$.
2. Дан прямоугольник $$ABCD$$. Докажите, что для произвольной точки $$M$$ плоскости справедливо равенство $$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2$$.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм.

а) Если $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$, то по правилу треугольника

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.$$

б) Если $$\vec a=\overrightarrow{CB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{CD}$$, то

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.$$

Так как в параллелограмме $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}=-\vec a$$, а $$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=-\vec b$$, получаем

$$\overrightarrow{AC}=-\vec a-\vec b.$$

в) Если $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{DA}$$, то

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Но $$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}=-\vec b$$, значит

$$\overrightarrow{AC}=\vec a-\vec b.$$

Ответ: а) $$\vec a+\vec b$$; б) $$-\vec a-\vec b$$; в) $$\vec a-\vec b$$.