Упр.957 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок $$\mathrm{ВВ}_1$$ — медиана треугольника ABC. Выразите векторы $$\mathrm{В}_1\mathrm{С}$$, $$\mathrm{ВВ}_1$$, $$\mathrm{ВА}$$, $$\mathrm{ВС}$$ через $$х=\mathrm{АВ}_1$$ и $$у=\mathrm{АВ}$$.
2. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Пусть $$\vec{x}=\overrightarrow{AB_1},\qquad \vec{y}=\overrightarrow{AB}.$$

Так как $$BB_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$, точка $$B_1$$ — середина отрезка $$AC$$. Тогда

$$\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{AB_1}=\vec{x}.$$

Далее по правилу треугольника

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1}=\vec{x}-\vec{y}.$$

Также

$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{y}.$$

Наконец,

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AB_1}=-\vec{y}+2\vec{x}=2\vec{x}-\vec{y}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{B_1C}=\vec{x},\ \overrightarrow{BB_1}=\vec{x}-\vec{y},\ \overrightarrow{BA}=-\vec{y},\ \overrightarrow{BC}=2\vec{x}-\vec{y}.$$