Упр.957 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы В1С, ВВ1, ВА, ВС через х = АВ1 и у = АВ. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Так как $$BB_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$B_1$$ — середина отрезка $$AC$$. Поэтому

$$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{B_1C}.$$

Обозначим $$\overrightarrow{AB_1}=\vec x$$, $$\overrightarrow{AB}=\vec y$$. Тогда

$$\overrightarrow{B_1C}=\vec x.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec y+\vec x=\vec x-\vec y.$$

Также

$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec y.$$

Наконец,

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}.$$

Так как $$B_1$$ — середина $$AC$$, то $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C}=\vec x+\vec x=2\vec x.$$ Следовательно,

$$\overrightarrow{BC}=-\vec y+2\vec x=2\vec x-\vec y.$$

Итак,

$$\overrightarrow{B_1C}=\vec x,\qquad \overrightarrow{BB_1}=\vec x-\vec y,\qquad \overrightarrow{BA}=-\vec y,\qquad \overrightarrow{BC}=2\vec x-\vec y.$$

Докажем второе утверждение. Пусть в параллелограмме $$ABCD$$ диагонали равны: $$BD=AC$$. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$A(0,0),\quad D(a,0),\quad B(b,c),\quad C(a+b,c).$$

Тогда

$$BD^2=(a-b)^2+c^2,$$

$$AC^2=(a+b)^2+c^2.$$

Из условия $$BD=AC$$ получаем $$BD^2=AC^2$$, значит

$$ (a-b)^2+c^2=(a+b)^2+c^2,$$

$$ (a-b)^2=(a+b)^2,$$

$$ a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2,$$

$$4ab=0.$$

Так как $$a\neq 0$$ для невырожденного параллелограмма, то $$b=0$$. Следовательно, точки $$A$$ и $$B$$ имеют одинаковую абсциссу, а значит, $$AB\perp AD$$. Тогда один из углов параллелограмма прямой, следовательно, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Ответ

$$\overrightarrow{B_1C}=\vec x,\quad \overrightarrow{BB_1}=\vec x-\vec y,\quad \overrightarrow{BA}=-\vec y,\quad \overrightarrow{BC}=2\vec x-\vec y.$$ Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.