Упр.956 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{BM}$$, $$\overrightarrow{NC}$$, $$\overrightarrow{MN}$$, $$\overrightarrow{BN}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{AM}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{AN}$$.
- Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AM},\qquad \vec b=\overrightarrow{AN}.$$
Тогда:
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\vec a.$$
Но так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то $$\overrightarrow{AB}=2\vec a$$, значит
$$\overrightarrow{BM}=-2\vec a+\vec a=-\vec a.$$
Далее, поскольку $$N$$ — середина стороны $$AC$$, имеем
$$\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AN}=\vec b.$$
Найдём вектор $$\overrightarrow{MN}$$ по правилу треугольника:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.$$
Теперь
$$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}=-\vec a+(\vec b-\vec a)=\vec b-2\vec a.$$
Ответ: $$\overrightarrow{BM}=-\vec a,\quad \overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{MN}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\vec b-2\vec a.$$
