Упр.954 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На рисунке 259 изображены векторы а, b, с, d, XY. Представьте вектор XY в виде суммы остальных или им противоположных векторов. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Подробный ответ

Обозначим вершины равнобедренного треугольника так: $$B(0;160),\ A(-40;0),\ C(40;0).$$

Так как $$BO$$ — медиана, проведённая к основанию $$AC$$, то точка $$O$$ — середина основания, а значит, удобно ввести координаты именно так, чтобы основание лежало на оси $$Ox$$.

Пусть $$E$$ — середина стороны $$AB$$, а $$F$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда по формуле координат середины отрезка:

$$ E\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{-40+0}{2};\frac{0+160}{2}\right) = (-20;80), $$

$$ F\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}\right) = \left(\frac{0+40}{2};\frac{160+0}{2}\right) = (20;80). $$

Теперь найдём длины медиан $$CE$$ и $$AF$$ по формуле расстояния между точками:

$$ CE=\sqrt{(-20-40)^2+(80-0)^2} =\sqrt{3600+6400} =\sqrt{10000} =100\text{ см}, $$

$$ AF=\sqrt{(20-(-40))^2+(80-0)^2} =\sqrt{3600+6400} =\sqrt{10000} =100\text{ см}. $$

Следовательно, две другие медианы равны $$100$$ см и $$100$$ см.