Упр.953 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы р = XY + ZX + YZ, q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY)-ZX нулевые. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Обозначим через $$\vec{XY}$$, $$\vec{YZ}$$ и $$\vec{ZX}$$ векторы сторон треугольника $$XYZ$$. По правилу многоугольника

$$\vec{XY}+\vec{YZ}+\vec{ZX}=\vec{0}.$$

Тогда

$$\vec{p}=\vec{XY}+\vec{ZX}+\vec{YZ}=\vec{0}.$$

Для вектора $$\vec{q}$$ имеем

$$\vec{q}=(\vec{XY}-\vec{XZ})+\vec{YZ}=(\vec{XY}+\vec{ZX})+\vec{YZ}.$$

Так как $$\vec{XY}+\vec{YZ}+\vec{ZX}=\vec{0}$$, то

$$\vec{XY}+\vec{ZX}=-\vec{YZ},$$

следовательно,

$$\vec{q}=(-\vec{YZ})+\vec{YZ}=\vec{0}.$$

Аналогично

$$\vec{r}=(\vec{ZY}-\vec{XY})-\vec{ZX}=(\vec{ZY}+\vec{YX})+\vec{XZ}.$$

Но $$\vec{ZY}+\vec{YX}=\vec{ZX}$$, значит

$$\vec{r}=\vec{ZX}+\vec{XZ}=\vec{0}.$$

Итак,

$$\vec{p}=\vec{q}=\vec{r}=\vec{0},$$

что и требовалось доказать.

Для параллелограмма $$ABCD$$ докажем, что сумма квадратов его сторон равна сумме квадратов диагоналей.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$A(0;0),\quad D(a;0),\quad B(b;c),\quad C(a+b;c).$$

Тогда

$$AB^2=(b-0)^2+(c-0)^2=b^2+c^2,$$

$$BC^2=(a+b-b)^2+(c-c)^2=a^2,$$

$$CD^2=(a-(a+b))^2+(0-c)^2=b^2+c^2,$$

$$AD^2=(a-0)^2+(0-0)^2=a^2.$$

Кроме того,

$$AC^2=(a+b-0)^2+(c-0)^2=(a+b)^2+c^2,$$

$$BD^2=(a-b)^2+(0-c)^2=(a-b)^2+c^2.$$

Сложим квадраты сторон:

$$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=(b^2+c^2)+a^2+(b^2+c^2)+a^2=2a^2+2b^2+2c^2.$$

Сложим квадраты диагоналей:

$$AC^2+BD^2=((a+b)^2+c^2)+((a-b)^2+c^2).$$

Раскроем скобки:

$$AC^2+BD^2=a^2+2ab+b^2+c^2+a^2-2ab+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2.$$

Следовательно,

$$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2.$$