Упр.953 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$X$$, $$Y$$ и $$Z$$ — произвольные точки. Докажите, что векторы $$p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}$$, $$q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}$$ и $$r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}$$ нулевые.
2. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Пусть $$\vec{XY}=\vec{a},\quad \vec{YZ}=\vec{b}.$$ Тогда по правилу треугольника

$$\vec{XZ}=\vec{XY}+\vec{YZ}=\vec{a}+\vec{b}.$$

Тогда

$$\vec{p}=\vec{XY}+\vec{ZX}+\vec{YZ}=\vec{XY}+\vec{YZ}+\vec{ZX}=\vec{XZ}+\vec{ZX}=\vec{0}.$$

Далее

$$\vec{q}=(\vec{XY}-\vec{XZ})+\vec{YZ}=(\vec{XY}+\vec{ZX})+\vec{YZ}=\vec{YX}+\vec{YZ}+\vec{ZX}.$$

Но $$\vec{YX}+\vec{YZ}=\vec{XZ},$$ значит

$$\vec{q}=\vec{XZ}+\vec{ZX}=\vec{0}.$$

И, наконец,

$$\vec{r}=(\vec{ZY}-\vec{XY})-\vec{ZX}=(\vec{ZY}+\vec{YX})+\vec{XZ}.$$

Так как $$\vec{ZY}+\vec{YX}=\vec{ZX},$$ получаем

$$\vec{r}=\vec{ZX}+\vec{XZ}=\vec{0}.$$

Следовательно, $$\vec{p}=\vec{q}=\vec{r}=\vec{0}.$$