Упр.952 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) $$(\mathrm{АВ}+\mathrm{ВС}-\mathrm{МС})+(\mathrm{MD}-\mathrm{KD})$$; б) $$(\mathrm{СВ}+\mathrm{АС}+\mathrm{BD})-(\mathrm{МК}+\mathrm{KD})$$.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, причём $$AB$$ — гипотенуза, а $$M$$ — середина $$AB$$. Докажем, что $$MA=MB=MC$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы $$C(0;0)$$, $$A(0;b)$$, $$B(a;0)$$.

Так как $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то его координаты равны

$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+a}{2}=\frac{a}{2},\qquad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{b+0}{2}=\frac{b}{2}.$$

Найдём расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника:

$$MC=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2+\left(\frac{b}{2}-0\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}.$$

$$MA=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2+\left(\frac{b}{2}-b\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}.$$

Аналогично

$$MB=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^2+\left(\frac{b}{2}-0\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}.$$

Следовательно,

$$MA=MB=MC,$$

то есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Ответ

$$MA=MB=MC.$$