Упр.951 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ $$AB=6$$, $$BC=8$$, угол $$B=90^\circ$$. Найдите: а) $$|BA|-|BC|$$ и $$|BA-BC|$$; б) $$|AB|+|BC|$$ и $$|AB+BC|$$; в) $$|BA|+|BC|$$ и $$|BA+BC|$$; г) $$|AB|-|BC|$$ и $$|AB-BC|$$.
2. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) $$A(-3;-1),\ B(1;-1),\ C(1;-3),\ D(-3;-3)$$; б) $$A(4;1),\ B(3;5),\ C(-1;4),\ D(0;0)$$.

а) Так как $$\angle B=90^\circ,$$ то треугольник $$ABC$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Тогда

$$|\,\overrightarrow{BA}\,|-|\,\overrightarrow{BC}\,|=6-8=-2,$$

а по правилу треугольника

$$|\,\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{CA}\,|=AC=10.$$

б)

$$|\,\overrightarrow{AB}\,|+|\,\overrightarrow{BC}\,|=6+8=14,$$

а

$$|\,\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{AC}\,|=AC=10.$$

в)

$$|\,\overrightarrow{BA}\,|+|\,\overrightarrow{BC}\,|=6+8=14,$$

а по правилу параллелограмма

$$|\,\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{BD}\,|.$$

Диагональ $$BD$$ прямоугольника со сторонами $$6$$ и $$8$$ равна

$$BD=\sqrt{6^2+8^2}=10,$$

значит,

$$|\,\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\,|=10.$$

г)

$$|\,\overrightarrow{AB}\,|-|\,\overrightarrow{BC}\,|=6-8=-2,$$

а

$$|\,\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{DB}\,|.$$

Так как $$DB=10,$$ то

$$|\,\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\,|=10.$$

Ответ: а) $$-2$$ и $$10$$; б) $$14$$ и $$10$$; в) $$14$$ и $$10$$; г) $$-2$$ и $$10$$.