Упр.950 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Сторона равностороннего треугольника $$ABC$$ равна $$a$$. Найдите: а) $$|AB+BC|$$; б) $$|AB+AC|$$; в) $$|AB+CB|$$; г) $$|BA-BC|$$; д) $$|AB-AC|$$.
Задание учебника 2023 года. Докажите, что четырёхугольник $$MNPQ$$ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) $$M(1;1),\ N(6;1),\ P(7;4),\ Q(2;4)$$; б) $$M(-5;1),\ N(-4;4),\ P(-1;5),\ Q(-2;2)$$.

Подробный ответ

а) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то $$|\overrightarrow{AC}|=a$$. Значит,

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=a.$$

б) Векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ имеют общий начало в точке $$A$$, поэтому их сумма равна диагонали параллелограмма:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.$$

Найдём длину $$AD$$. В равностороннем треугольнике высота делит сторону пополам, поэтому

$$AO=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$|AD|=2AO=2\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=a\sqrt3.$$

в) Перенесём вектор $$\overrightarrow{CB}$$ параллельно самому себе. Тогда сумма $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$$ равна диагонали соответствующего ромба, и её длина также равна

$$a\sqrt3.$$

г)

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA},$$

следовательно,

$$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=a.$$

д)

$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB},$$

поэтому

$$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=a.$$

Ответ: а) $$a$$; б) $$a\sqrt3$$; в) $$a\sqrt3$$; г) $$a$$; д) $$a$$.