Упр.948 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов $$\mathbf{x}$$ и $$\mathbf{y}$$ справедливо неравенство $$|\mathbf{x}+\mathbf{y}|<|\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$$.
2. Задание учебника 2023 года. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: а) $$A(-3;5)$$ и $$B(6;4)$$; б) $$C(4;-3)$$ и $$D(8;1)$$.

Пусть векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ неколлинеарны. Отложим их от одной точки $$A$$: построим точки $$B$$ и $$C$$ так, что $$\overrightarrow{AB}=\vec x$$ и $$\overrightarrow{AC}=\vec y$$. Тогда по правилу треугольника

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$

или, что то же самое,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$\vec x$$ и $$\vec y$$ неколлинеарны, то точки $$A,B,C$$ не лежат на одной прямой, значит, это действительно треугольник. По неравенству треугольника

$$AC<AB+BC.$$

Но $$AB=|\vec x|$$, $$BC=|\vec y|$$, а $$AC=|\vec x+\vec y|$$. Следовательно,

$$|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$

Что и требовалось доказать.