Упр.946 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы |а| не равен |b|. Постройте векторы: а а — b; б) b — а; в) -а + b. Выполните ещё раз построение для случая, когда |а| = |b|. Найдите х, если: а) расстояние между точками А (2; 3) и В (х; 1) равно 2; б) расстояние между точками М1 (-1; х) и М2 (2х; 3) равно 7.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны и направлены в одну сторону, причём $$|\vec a|\ne|\vec b|$$.

Тогда при построении разности векторов получаем:

• $$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$$ — это вектор, направленный в сторону большего из двух векторов и равный по длине разности их модулей;
• $$\vec b-\vec a=\vec b+(-\vec a)$$ — аналогично, направлен в сторону большего вектора;
• $$-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a$$.

Если же $$|\vec a|=|\vec b|$$, то коллинеарные векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равны по длине, поэтому

$$\vec a-\vec b=\vec 0,\qquad \vec b-\vec a=\vec 0,\qquad -\vec a+\vec b=\vec 0.$$

Теперь найдём $$x$$.

а) По формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(x-2)^2+(1-3)^2}=2.$$

Тогда

$$\sqrt{(x-2)^2+4}=2,$$

$$ (x-2)^2+4=4,$$

$$ (x-2)^2=0,$$

$$ x=2.$$

б)

$$M_1M_2=\sqrt{(2x-(-1))^2+(3-x)^2}=7,$$

то есть

$$\sqrt{(2x+1)^2+(3-x)^2}=7.$$

Возведём в квадрат:

$$ (2x+1)^2+(3-x)^2=49,$$

$$ 4x^2+4x+1+9-6x+x^2=49,$$

$$ 5x^2-2x-39=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=4+780=784,$$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{784}}{10}=\frac{2\pm 28}{10}.$$

Отсюда

$$x_1=3,\qquad x_2=-\frac{26}{10}=-2{,}6.$$

Ответ

Для коллинеарных векторов: $$\vec a-\vec b$$, $$\vec b-\vec a$$, $$-\vec a+\vec b$$ строятся как разности соответствующих векторов; при $$|\vec a|=|\vec b|$$ все три вектора равны $$\vec 0$$.

$$x=2;\quad x=3 \text{ или } x=-2{,}6.$$