Упр.938 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ равны, то середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают, то $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$.
- Найдите длины векторов: а) $$\vec a\{5; 9\}$$; б) $$\vec b\{-3; 4\}$$; в) $$\vec c\{-10; -10\}$$; г) $$\vec d\{10; 17\}$$; д) $$\vec e\{11; -11\}$$; е) $$\vec f\{10; 0\}$$.
Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AD$$ и через $$O_1$$ середину отрезка $$BC$$.
Если $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$, то отрезки $$AB$$ и $$CD$$ равны и параллельны, значит, четырехугольник $$ABCD$$ — параллелограмм. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому точка пересечения диагоналей является серединой и $$AD$$, и $$BC$$. Следовательно, середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают.
Докажем обратное утверждение. Пусть середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают, то есть диагонали четырехугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся пополам. Тогда $$ABCD$$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит, $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$. Следовательно, $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$.
Таким образом, утверждение доказано в обе стороны.
Ответ
Если $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$, то середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают. Обратно, если середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают, то $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$.
